تعريف الدالة وتعيين مجالها ومداها

تعريف الدالة وتعيين مجالها ومداها

الدالة هي أساس علم الرياضيات فهي تعرف رياضيًا بمجموعة من العناصر يربطها علاقة ومسار معين مع مجموعة من عناصر أخرى؛ لتسهيل تمثيلها وتنظيمها في العمليات الحسابية والبيانات الجدولية، كما يعرف عناصر المجموعة الأولى بمجال الدالة، وعناصر المجموعة المحققة لشروط هذه الدالة بمدى الدالة، كما أن عنصر المدى الواحد يمكن أن يقترن بأكثر من عنصر من عناصر المجال لكن لا يجوز اقتران عنصر المجال بأكثر من مدى.

أنواع الدالة

تتعدد أنواع الدالة المثلثية والتي لكلًا منها استخدام مختلف، وتتمثل أنواع الدوال في:

الدالة البسيطة (simple function)

وتعرف بأن المتغير (ص) المعروف بالتابع يعتمد على متغير مستقل واحد فقط (س)، مثال أن المربع لا يعتمد على طول ضلعه فقط لإيجاد المساحة، وأن الموظف يعتمد فقط على دخله الشهري من الشركة او المؤسسة التي يعمل لديها.

الدوال كثيرات الحدود (polynomial Functions)

يقال عن الدالة أنها كثيرات حدود إذا كان المتغير(ص) التابع يعتمد على أكثر من عنصر مستقل، فمثلًا يعتمد المستطيل لإيجاد مساحته على الطول والعرض أي يعتمد على متغيرين مستقلين.

الدوال الخطية (Linear functions)

تعرف الدالة الخطية بأنها متغير له قوة أسية من الدرجة الأولى، وتمثلها معادلة رياضية (y=Ax+b)، حيث تعبر المعادلة عن الدالة الخطية وتمثل بخط مستقيم لأنها أس ال x ب1 أي من الدرجة الأولى كما أن A تعبر عن ميل الخط المستقيم وB تعبر عن الجزء المقطوع من محور الصادات y .

الدوال الغير خطية (Non-linear functions)

تعرف الدالة الغير خطية أن متغيرها له قوة أسية أكبر من الواحد بمعنى أن تكون الدالة من الدرجة الثانية أو الثالثة وغيرها مثل الدالة التربيعية Y = ax2 + bx + c

أو الدالة التكعيبية Y= ax3 + bx + cx + d وغيرها من الدوال على حسب درجة المتغير المستقل والتي تتمثل عن طريق منحنى على حسب مجال ومدى كل نوع دالة من الدوال الغير خطية.

الدالة الكسرية (Rational functions)

هي عبارة عن نسبة بين دالتين من دوال كثيرات الحدود وصورتها كالآتي f(x) = P(x) / Q(x) كما أن مجالها هو الأعداد الحقيقية ما عدا الأعداد التي تجعل المقام يساوي صفر حيث ستصبح الدالة غير معرفة ومداها عبارة عن الناتج المكون من تعويض المجال في الدالة.

الدالة الأسية (exponential functions)

عبارة عن أساس مرفوع لأس وهو المتغير x ( y=ax  ,a >0) ، وهي من أكثر الدوال استخدامًا في التطبيقات لقدرتها على تسهيل الحلول للمستخدمين كما أن المجال عبارة عن الأعداد الحقيقية، والمدى يمثل مجموعة الأعداد الحقيقة الموجبة، لذلك لا تتقاطع مع أيا من محور السينات أو محور الصادات.

الدالة اللوغاريتمية (Logarithmic functions)

هي الدالة العكسية للدالة الأسية حيث أن مجالها هو مدى الدالة الأسية وهي الأعداد الحقيقية الموجبة كما أن المدى هو مجال الدالة الأسية وهو الأعداد الحقيقية وتمثل الدالة اللوغاريتمية ( y = Loga x     or   y = Ln x ) حيث أن Ln هي حالة خاصة عندما يكون a = e حيث أن ال e بالعدد او الأساس الطبيعي ويساوي 2.71828 .

الدوال الجذرية ( Root functions)

دالة مرفوع لأس كسر أو دالة تحت الجذر ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تجعل ما بداخل الجذر أكبر من أو يساوي الصفر والمدى هو ناتج التعويض في المجال المتاح.

الدوال المثلثية (Trig functions )

دوال معرفة بواسطة العلاقات المثلثية المشهورة

Y =sinx, Y = cosx, Y = tanx

كما أنها تستخدم في العديد من المجالات مثل المجالات الطبية في الفحوصات مثل رسم القلب، والموجات العصبية كما تستخدم في قياس معدلات الزلازل، وتستخدم في قياس ذبذبات المحطات الكهربائية وغيرها. ومجالها هو جميع الأعداد الحقيقية ومداها ينحصر في الفترة [-1 , 1].

استخدامات الدوال في حياتنا اليومية

كما ذكرنا من قبل أن الدوال أساسية في كافة المجالات، لذا سنتناول بعض الأمثلة التي تظهر فيها أهمية الدوال بشكل رئيسي وواضح في السطور التالية.

دالة فوريار الرياضية

التي تستعمل في الرسم الكرتوني كما أن لها منحنيات تشبه حبة اليقطين، وأجنحة الخفافيش وعند طيرانها تظهر في منحنياتها ترددات صوتية.

دالة الأس الهيدروجيني

هي دالة تستخدم في صناعة مستحضرات التجميل، والأدوية المستخدمة لعلاج البشرة كما أنها تستخدم في صناعة الأسمدة والكيماويات المستخدمة في مجال الزراعة.

حواس الإنسان

تستخدم حواس الإنسان الدوال أيضًا، حيث تعتمد الحواس على النظام اللوغاريتمي وتحدد معدل الإدراك الحسي عدا تضخيم الأصوات، وضغط حجم الصور فإنهم ضمن اختصاصات حاستي السمع والبصر.

الدوال المثلثية

في المجال الطبي

تستخدم الدوال المثلثية لقياس الضربات القلبية، ومعدل النبض ورسم الأعصاب وجلسات الكهرباء، كما تستخدم في تحديد ساعات النهار كما هو معروف من الجهات المختصة بالفلك والأرصاد.

دالة ظل الزاوية

تستخدم على الطرق السريعة كرادار لحساب معدل السرعة عن طريقة مسافة الطريق والوقت المحدد لقطع هذه المسافة، وبالتالي نستطيع حساب السرعة ونقارن معدلات التجاوز بمعدلات السرعات المسموح بها.